[組み合わせゲーム理論] 物真似戦略と奇遇性

物真似戦略

物真似戦略とは、ゲームがある種の対称性を持った場合にのみ有効な、シンプルな必勝戦略です。

その名称が示す通り、基本的に後手が先手と同様の手を打ち続けるという単純な戦略ですが、ゲームの局面が対称性を満たす場合、この戦略によって後手は必ず勝利することができます。

物真似戦略の例として、同じ数の石を持った2山のニムを考えてみます。この場合、以下の図のように後手は先手がとった石と同じ数を他方の山からとり続けることで、必ず勝つことができます。

また以下の図のように、先手が局面の対称性を作り出した状態で後手に渡し、その後物真似戦略をとり続けるというパターンも考えられます。

正規形の組み合わせゲームでは最後に手を打ったプレイヤーが勝ちとなるため、先手は奇数回、後手は偶数回の手で終局させるように手を打ち続けます。物真似戦略は、対称的に手を打ち続けることで、ある起点から偶数回でゲームが終局するように局面をコントロールし続ける戦略と捉えることができます。

奇遇性

奇遇性とは、ある数が奇数か偶数のどちらかであるかということです。ゲームを理解する上で、奇遇性は非常に重要な概念となります。

わかりやすい所でいうと、終局までの手数の奇遇性は対局者の勝敗に直結する要素であると考えることができます。また、その手数を決定するゲーム内の諸要素についても同様に奇遇性が重要となります。

物真似戦略がゲームの奇遇性を活用した必勝戦略であるように、多くのゲームではある要素の奇遇性のみによって勝敗が決定されることがあります。